ميكانيكا المواد — الخرسانة المسلحة من الصفر، بلا قفزات

خمس محطات: من شاحنة فوق جسر… إلى توازن C = T

كل معادلة في هذه الصفحة ستولد أمام عينيك من التي قبلها، وكل رمز ستحرّكه بيدك. جسرنا طوال الرحلة: بحر L = 4 m بمقطع b×h = 250×500 mm، والحديد (عندما نضيفه) قضبان Ø16 على عمق d = 450 mm.

P — الحمل (شاحنة في منتصف الجسر)، kN
M — عزم الانحناء الذي يولّده الحمل، kN·m
b ، h — عرض المقطع وارتفاعه الكلي
d — عمق الحديد: من أعلى المقطع إلى مركز القضبان
As — مساحة الحديد الكلية (قضيب Ø16 = 201 mm²)
E — معامل المرونة: "قساوة" المادة = الإجهاد لكل وحدة انفعال
n = Es/Ec — كم مرة الحديدُ أقسى من الخرسانة
x — عمق المحور المحايد من أعلى المقطع
fr — أقصى شدّ تتحمله الخرسانة قبل التشقق
Icr — عزم قصور المقطع المتشقق المحوَّل
١

القصة تبدأ بشاحنة: من أين يأتي العزم؟ ولماذا الشد في الأسفل؟

لا وجود لعزمٍ يهبط من السماء — العزم يولد من حمل. ضع حملاً في منتصف الجسر وراقبه ينحني: الألياف السفلية تستطيل (هذا هو الشدّ) والعلوية تنضغط.

40
P = 40 kN الأعلى ينضغط الأسفل يستطيل →←… هذا هو الشدّ! زد الحمل = أحجار أكثر في الصندوق (الخط المنقّط = الجسر قبل التحميل، والانحناء مبالغ فيه)
أقصى عزم انحناء M = P·L/4 (في المنتصف)
40.0
kN·m — ولأن L=4m فإن M = P عددياً
أين أخطر مقطع؟
منتصف الجسر
حيث M أكبر ما يكون — هناك سنحلل
هذا كل ما يفعله العزم: يجبر المقطع على الدوران قليلاً، فيستطيل جانبٌ وينضغط الآخر. كل ما يلي في هذه الصفحة يحدث داخل ذلك المقطع الواحد في منتصف الجسر. (في الجائز الظفري تنقلب الصورة: الشدّ فوق — لكن المنطق واحد.)
٢

جسرنا من خرسانة عارية: عملاق بكعب أخيل

لا حديد بعد. لأن المقطع مادة واحدة متجانسة، المحور المحايد في منتصفه تماماً، والإجهاد يتوزع خطياً: ضغط فوق وشدّ تحت بنفس القيمة σ = M·(h/2)/I. المشكلة؟ سقفا التحمل مختلفان بشكل صادم.

M يصلك حيّاً من شاحنة الخطوة ١ = 40 kN·m
25
الإجهاد عند السطحين
3.84
MPa ضغطاً فوق وشدّاً تحت
سقف الضغط = f'c
25
MPa — مرتاحة جداً
سقف الشدّ fr ≈ 0.62√f'c (من التجارب)
3.10
MPa فقط! ≈ عُشر الضغط
الحالة
انكسرت!
المقطع (بلا حديد) N.A. بالمنتصف ضغط شدّ سقف الشد fr
جرّب: خفّف الشاحنة في الخطوة ١ حتى تصمد الخرسانة، ثم ثقّلها مجدداً. الأخضر (الضغط) يعمل بأقل من سُدس طاقته بينما البرتقالي (الشدّ) يرتطم بسقفه الواطئ ويشقّ المقطع شقّاً هشّاً مفاجئاً بلا إنذار. الخرسانة لم تضعف — خانتها جهة واحدة. إذن نحتاج مادة تقف في منطقة الشد فقط. هذا هو سبب وجود الحديد، لا أكثر ولا أقل.
٣

مختبر القساوة: ما معنى E؟ ومن أين تأتي n؟

قبل أن نزرع الحديد، مفهومٌ واحد يجب أن يصبح بديهياً. معامل المرونة E هو "قساوة" المادة: كم MPa من الإجهاد تتولد فيها مقابل كل وحدة انفعال (تماماً كقساوة النابض — نابضان تشدّهما نفس المسافة، الأقسى يقاوم بقوة أكبر). داخل الجائز، الحديد ملتحم بالخرسانة (التماسك bond) فيُجبَران على نفس الانفعال ε. شُدّهما وراقب من يقاوم أكثر.

0.00040
200
تتبع f'c من الخطوة ٢ — غيّره هناك وراقب n هنا 23.5
الطول الأصلي خرسانة حديد σ = 9.4 MPa σ = 80 MPa n = Es / Ec 8.5 كلاهما استطال بنفس ε = 0.00040 بالضبط — لكن انظر للإجهادين!
إجهاد الخرسانة σc = Ec·ε
9.4
MPa
إجهاد الحديد σs = Es·ε
80.0
MPa
النسبة σs ÷ σc
8.5
= n دائماً — حرّك ε وراقبها لا تتغير!
برهان n·As: قضيب Ø16 يحمل قوة
16.1
kN = قوة 1,710 mm² من الخرسانة (201×n)
الفكرة الذهبية ١ — ولادة n·As: البطاقة الأخيرة فوق هي البرهان كله بالأرقام: قضيب حديد مساحته 201 mm² يحمل (عند نفس ε) قوةً تساوي بالضبط قوة قطعة خرسانة مساحتها 201×n. إذن إذا أردنا حساب المقطع كأنه مادة واحدة (خرسانة فقط)، نستبدل كل قضيب حديد بـ"خرسانة وهمية" مساحتها n أضعاف — لا أكثر ولا أقل، وإلا اختلّت القوى. هذه هي "حيلة المقطع المحوَّل" التي سنستعملها حالاً.
٤

كن أنت المعادلة: اصطد المحور المحايد بيدك

عاد مقطعنا، متشققاً. تخيّل عمق المقطع قضيباً ممدداً أمامك: على يساره (أعلى المقطع) تجلس "كتلة" خرسانة الضغط، وعلى يمينه عند العمق d تتدلى "كتلة" الحديد المحوَّل n·As. المسند الذي يتوازن عليه القضيب هو المحور المحايد نفسه — فهو مركز ثقل المقطع المحوَّل. لو تساوت الكتلتان لاستقر المسند في منتصف المسافة بينهما؛ لكنهما لا تتساويان، فيستقر حيث تتساوى عزومهما (وزن × ذراع): أقرب إلى الأثقل. أضف الحديد ثم حرّك المسند البرتقالي بيدك حتى يتعادل القضيب — وانتبه للمفاجأة: تحريك المسند يغيّر كتلة الخرسانة نفسها (فقط ما فوق المحور يُحسب)!

n من مختبر الخطوة ٣ = 8.5
0
150
اليسار = أعلى المقطع (عمق 0) … اليمين = أسفله (عمق 500 mm) — كل ملمتر = بكسل كتلة الخرسانة b·x̂ (تكبر مع المسند!) عزمها 2.81 كتلة الحديد n·As عند d عزمها 0.00 المسند = المحور المحايد x̂ أضف حديداً أولاً… المقطع الحقيقي (متشقق) الوردي = خرسانة مستقيلة لا تُحسب المقطع المحوَّل لا حديد بعد… x̂ تجريبي
مساحة الحديد As / المحوَّلة n·As
0 / 0
mm²
الحل الدقيق للمعادلة b·x²/2 = nAs(d−x)
—
mm — قارنه بصيدك!
عزم القصور Icr = b·x³/3 + nAs(d−x)²
—
mm⁴ (نقل المحاور للمقطع المحوَّل)
لماذا "الكتلة × الذراع" وليس الكتلة وحدها؟ لأن الانفعال (ومعه الإجهاد) يكبر خطياً مع البعد عن المحور: شريحةٌ أبعدُ تسحب أقوى، تماماً كوزنٍ على ذراع أطول في الميزان. لذلك المحور المحايد هو مركز ثقل المقطع المحوَّل: كتلة الخرسانة b·x̂ بذراعها x̂/2 تعادل كتلة الحديد n·As بذراعها (d−x̂) — وهذه هي b·x²/2 = nAs(d−x) حرفياً. ولاحظ أيضاً: x لا يكترث بالعزم M إطلاقاً — إنه صفة هندسية للمقطع (b, d, n·As) فقط. زد القضبان فيثقل الطرف الأيمن وينجرّ المسند نحوه (يهبط المحور المحايد نحو الحديد).
٥

الصورة الكاملة: انفعالٌ واحد مستمر، إجهادٌ يقفز

نحمّل المقطع المسلح بعزم شاحنتنا ونرسم كل شيء. القاعدة الذهبية: مخطط الانفعال خط واحد مستمر لا يعرف خرسانة من حديد (المقاطع المستوية تبقى مستوية)، أما الإجهاد σ = E·ε فيقفز عند الحديد بمعامل n لأن E قفز.

حيّاً: M = 40 kN·m ، n = 8.5 ، x و Icr من الخطوة ٤
40
وهي تعبر، يتغير M لحظياً ومعه كل المخططات تحت — راقبها تتنفس
إجهاد الخرسانة fc = M·x/Icr
—
MPa
إجهاد الحديد fs = n·M·(d−x)/Icr
—
MPa (المسموح ≈ 170) — الـ n لأن الحديد الحقيقي يحمل n ضعف الخرسانة الوهمية مكانه
انفعال الحديد εs — وبالعربية:
—
انفعال الخرسانة εc
—
الجسر الآن (كما في الخطوة ١) M الآن = 40 kN·m التماسك (من الخطوة ٣): نفس ε للاثنين خرسانة حديد استطالة = 0.000 ← الاثنان يستطيلان بنفس القدر تماماً المقطع N.A. x=— الانفعال ε خط واحد — لا يعرف المواد εc=0 εs=0 الإجهاد σ = E·ε يقفز عند الحديد ×n لأن E قفز ×n يقفز هنا! fc=0 T: fs=0 MPa
قوة الضغط C = ½·fc·b·x
—
kN — الخرسانة تدفع
قوة الشد T = As·fs
—
kN — الحديد يسحب
فحص التصميم
—
C = T دائماً — هو نفسه ميزان الخطوة ٤!
الفكرة الذهبية ٢ — الخيط كله: التماسك يفرض انفعالاً مشتركاً ← الانفعال خطي عبر المقطع ← الإجهاد = E×ε فيقفز عند الحديد بمعامل n ← فنحوّل الحديد إلى n·As لنحسب بمادة واحدة ← توازن "المساحة×البعد" يصطاد المحور المحايد ← ومنه Icr فالإجهادات فالقوتان C = T. لا شيء يُحفظ هنا — كل حلقة تلد التالية.
٦

مختبر قدرة المواد: لكل مادة سقف — ماذا يحدث حين تصطدم به؟

حتى الآن حسبنا الإجهاد الفعلي. الآن نقارنه بما تتحمله كل مادة: f'c سقف ضغط الخرسانة، fr سقف شدّها، fy سقف خضوع الحديد. ثلاثة سقوف — ثلاثة أنواع من الفشل. حرّك كل منزلق وراقب أيّها ينهار أولاً.

الإجهادات الفعلية تصلك حيّاً من الخطوة ٥: fc = — MPa ، fs = — MPa
25
420
ضغط الخرسانة الإجهاد الفعلي fc سقف 0.45f'c = 11.3 MPa fc = — MPa 0% من الطاقة شد الخرسانة الإجهاد عند أسفل المقطع (بلا حديد) سقف fr = 3.1 MPa σ = — MPa 0% من الطاقة خضوع الحديد الإجهاد الفعلي fs سقف fy = 420 MPa fs = — MPa 0% من الطاقة
منحنيات الإجهاد–الانفعال للمادتين — حرّك f'c و fy وراقب السقوف تتحرك:
الخرسانة σ (MPa) ε 0.45f'c fc الآن الحديد σ (MPa) ε fy fs الآن منطقة الخضوع
نمط الفشل المتوقع
—
أي السقوف أقرب؟
—
نسبة الاستغلال لكل مادة
التصميم المثالي = "مقطع متوازن"
—
الخرسانة والحديد يصلان سقفهما معاً
لماذا يُفضَّل الحديد يخضع أولاً: الخرسانة تنهار بشكل هشّ مفاجئ — تشقق ثم انهيار دون إنذار (كما رأيت في الخطوة ٢). الحديد يخضع بشكل ليّن: يستطيل كثيراً قبل الانهيار، فتظهر شقوق عريضة في الجسر تُحذّر المارة. لذلك يصمم المهندسون عمداً على أن يصل الحديد لحد الخضوع fy قبل أن تسحق الخرسانة — هذا هو "التصميم للطواعية". جرّب: خفّف الحديد (قضبانان في الخطوة ٤) حتى يصبح هو المتحكم في الفشل — ثم لاحظ تحذير "الفشل الهش" يختفي وتحل محله الطواعية. وزد f'c عالياً جداً ولاحظ أن الخرسانة تصبح "أقوى من اللازم" — إسراف في المادة الغالية بدون مكسب حقيقي.

السلسلة كاملةً — بأرقامك الحالية

P → M = P·L/440 kN·m
→
خرسانة عاريةσ 3.8 / fr 3.1
→
n = Es/Ec8.5
→
الميزان يتعادلx = —
→
σ = M·y/Icr—
→
C = T—
درس تفاعلي — من الخرسانة العادية إلى المسلحة بطريقة المقطع المحوَّل (المرحلة المرنة). L=4m ، b=250 ، h=500 ، d=450 mm ، قضبان Ø16 (201 mm²) ، Ec=4700√f'c. جميع الحسابات تجري في متصفحك.