عندما ينحني جزء ميكانيكي تحت حِمل، لا تتألم كل أليافه بالتساوي:
السطح العلوي يتمدد، والسفلي ينضغط، وفي المنتصف خطٌّ لا يشعر بشيء.
σmax =
M · cI
حيث M عزم الانحناء (القوة × ذراعها)، وc المسافة من المحور المحايد إلى أبعد
ليف في المقطع، وI عزم القصور الذاتي للمساحة. الإجهاد يتوزع خطياً:
σ(y) = M·y / I — صفر عند المحور المحايد، وأقصى قيمة عند السطح.
١ — حرّك ليفاً داخل المقطع وشاهد إجهاده
مثالنا: قوة 30 kN على بُعد 40 mm من المقطع، والمقطع مستطيل 20×50 mm (إذن c = 25 mm و I = 208,333 mm⁴).
عزم الانحناء M
1,200,000
N·mm
الإجهاد عند هذا الليف σ(y)
144.0
MPa — شدّ
الإجهاد الأقصى عند c
144.0
MPa عند y = ±25
جرّب وضع المنزلق على y = 0: الإجهاد صفر مهما كبرت القوة، لأن ألياف المحور المحايد
لا يتغير طولها أثناء الانحناء. ولاحظ أن ليفاً على بُعد 12.5 mm يتحمل نصف إجهاد السطح بالضبط — العلاقة خطية.
٢ — لماذا تُصنع العوارض على شكل I؟
عزم القصور يُعرَّف بـ I = ∫y²·dA، أي أن كل قطعة من المادة تساهم بمقدار مربّع بُعدها عن
المحور المحايد. قطعة على بُعد 25 mm أكثر فاعلية بـ 25 ضعفاً من قطعة على بُعد 5 mm!
هنا نحافظ على نفس المساحة (1000 mm² — نفس الوزن) وننقل المعدن من الجذع إلى الشفتين:
المساحة (الوزن)
1000
mm² — ثابتة دائماً
عزم القصور I
208,333
mm⁴
الإجهاد الأقصى σmax
144.0
MPa
σmax مقارنةً بالمستطيل الأصلي (144 MPa):
عند B = 60 mm: نفس كمية المعدن بالضبط، لكن I قفز إلى ~384,000 mm⁴ والإجهاد انخفض إلى ~78 MPa —
عارضة بضعف القوة تقريباً بدون غرام إضافي. هذا هو سر شكل I-beam، والأنابيب المجوّفة،
وحتى عظمة الفخذ المجوّفة في جسمك.
صفحة تعليمية تفاعلية — معادلة الانحناء σ = Mc/I. جميع الحسابات تجري في متصفحك.